Schrodinger’s Equation of Hall Effect#

当我们同时考虑电场和磁场时，磁场项会导致Landau levels，而电场项会导致Landau States的实空间中的平衡位置（谐振子）出现平移，进而导致垂直于电、磁场的群速度。这便是Hall Effect。

当我们考虑边界效应的时候，边界可以视为一个势垒，对其进行一级近似的时候，其作用类似于电场。因而也会导致一个垂直于电、磁场的电流。这个电流便是手性边界态。由于这个势垒在左、右的一级近似的符号相反，因而会导致相反的电流方向。手性是指，电流仅沿着某单一方向运动，其背散射被抑制（方向相反意味着该电子需要穿过整个体到达另外一个表面）。

手性异常：如果单独看某个界面态，其粒子数不守恒。仅当我们考虑体态及其泵浦效应（通过Hall 电流将某界面态的电子Pump到另一界面态中）时，粒子数才是守恒的。出现这种异常意味着，该体系仅仅是某个更大体系的边界态。

AB相位#

将Berry Phase中的状态空间修改为矢势空间，可以得到AB相位的形式。二者均为几何相位。当电子绝热地绕如图螺线管外侧一圈后，会相比初态获得一个相位：

其中，相位因子正比于磁通量：

Corbino Disc#

现有一个圆环系统。圆环域用于模拟周期性晶格。中心空白处施加变化磁通，我们想模仿Hall effect的构型，利用这个含时磁通来构建一个沿着$x$轴方向的恒定电场。由Maxwell equations：

可以令：

令$x$轴沿着切向($\hat \theta$)，$y$轴沿着径向($\hat r$)。，需要一个沿着$x$方向的矢势：

取其旋量，得磁感应强度：

由此可得磁通为：