磁场下的Ohm’s law# 在线性响应区间内，Ohm定律适用：
j α = σ α β E β and E α = ρ α β j β j_\alpha = \sigma_{\alpha\beta}E_\beta \text{\quad and\quad}E_\alpha = \rho_{\alpha\beta}j_\beta j α = σ α β E β and E α = ρ α β j β 在磁场存在的情况下，上式仍然成立，但 Onsager’s reciprocity principle 将被 Time reversal 取代：
σ α β ( B ) = σ β α ( − B ) (1) \sigma_{\alpha\beta}(\bold B)=\sigma_{\beta\alpha}(-\bold B) \tag{1} σ α β ( B ) = σ β α ( − B ) ( 1 ) 将电导率张量展开为对称张量与反对称张量：
S α β = 1 2 ( σ α β + σ β α ) A α β = 1 2 ( σ α β − σ β α ) S_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}(\sigma_{\alpha\beta}+\sigma_{\beta\alpha})\\ A_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}(\sigma_{\alpha\beta}-\sigma_{\beta\alpha}) S α β = 2 1 ( σ α β + σ β α ) A α β = 2 1 ( σ α β − σ β α ) 将( 1 ) (1) ( 1 ) S , A S,A S , A B \bold B B B \bold B B
S α β = ( σ 0 ) α β + ζ α β γ δ B γ B δ A α β = ϵ α β γ A γ = ϵ α β γ ξ γ δ B δ S_{\alpha\beta}=(\sigma_0)_{\alpha\beta}+\zeta_{\alpha\beta\gamma\delta}B_{\gamma}B_\delta\\ A_{\alpha\beta} = \epsilon_{\alpha\beta\gamma}A_\gamma= \epsilon_{\alpha\beta\gamma}\xi_{\gamma\delta}B_\delta S α β = ( σ 0 ) α β + ζ α β γ δ B γ B δ A α β = ϵ α β γ A γ = ϵ α β γ ξ γ δ B δ 其中，上式利用了反对称张量可以利用ϵ i j k \epsilon_{ijk} ϵ ijk
j α = S α β E β + ϵ α β γ E β A γ = S α β E β + ( E × A ) α j_\alpha=S_{\alpha\beta}E_\beta+\epsilon_{\alpha\beta\gamma}E_\beta A_\gamma=S_{\alpha\beta}E_\beta+(\bold E\times \bold A)_\alpha j α = S α β E β + ϵ α β γ E β A γ = S α β E β + ( E × A ) α 通常，磁场的平方项贡献很小，可以忽略：
j = σ 0 E + E × A , A = ξ B \bold j=\sigma_0\bold E+\bold E\times\bold A,\quad\bold A = \xi\bold B j = σ 0 E + E × A , A = ξ B 其中，E × A \bold E\times\bold A E × A
综上可见，在Onsager’s reciprocity principle存在时，σ \sigma σ
Lorenz对称性及其后果# 现有磁场为B = B z ^ \bold B=B\hat z B = B z ^ v \bold v v
E ( e ) = v × B , B ( e ) = B z ^ \bold E^{(e)} = \bold v\times\bold B, \;\bold B^{(e)}=B\hat z E ( e ) = v × B , B ( e ) = B z ^ 为了保证电子气的运动不受这一电场偏转，必须存在另一电场，与这一电场平衡：
E = − v × B = 1 n e j × B \bold E=-\bold v\times\bold B=\frac{1}{ne}\bold j\times\bold B E = − v × B = n e 1 j × B 其中，j = − n e v \bold j = -ne\bold v j = − n e v n n n
NOTE 这一电场可以是预先施加的，E , B \bold E,\bold B E , B j \bold j j E \bold E E 维持 了在B \bold B B j \bold j j E \bold E E 做功 。而通常情况下，我们考虑的都是存在缺陷对电流造成散射的情况，此时由于存在耗散，故维持 这一电流必然意味着需要对这一电流做功 。
不妨从形式上化简上式：
E α = 1 n e ϵ α β γ j β B γ = B n e ϵ α β z j β \begin{align} E_\alpha &= \frac{1}{ne}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}j_\beta B_\gamma=\frac{B}{ne}\epsilon_{\alpha\beta z}j_\beta\\ \end{align} E α = n e 1 ϵ α β γ j β B γ = n e B ϵ α β z j β 其中：
( ϵ α β z ) = ( 0 1 0 − 1 0 0 0 0 0 ) (\epsilon_{\alpha\beta z})=\left(\begin{matrix} 0&1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&0 \end{matrix}\right) ( ϵ α β z ) = 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 故：
E = B n e ( 0 1 0 − 1 0 0 0 0 0 ) ( j x j y j z ) = B n e ( j y − j x 0 ) \bold E = \frac{B}{ne}\left(\begin{matrix} 0&1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}j_x\\j_y\\j_z\end{matrix}\right)=\frac{B}{ne}\left(\begin{matrix}j_y\\-j_x\\0\end{matrix}\right) E = n e B 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 j x j y j z = n e B j y − j x 0 或者写做Ohm’s law的形式：
E = ρ j , ρ = B n e ( 0 1 0 − 1 0 0 0 0 0 ) \bold E = \bold \rho \bold j,\;\rho=\frac{B}{ne}\left(\begin{matrix} 0&1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&0 \end{matrix}\right) E = ρ j , ρ = n e B 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 弛豫时间近似# 在存在磁场的情况下，弛豫时间近似的运动方程（EOM）为：
d p d t = − e E − e p m × B − p τ \frac{\text{d}{\bold {p}}}{\text{d} t} =-e\bold E-e\frac{\bold p}{m}\times \bold B-\frac{\bold p}{\tau} d t d p = − e E − e m p × B − τ p 其中，τ \tau τ τ \tau τ − p / τ -\bold p /\tau − p / τ
e E + e B m p × z ^ + 1 τ p = 0 e\bold E+\frac{eB}{m}\bold p\times\hat z+\frac{1}{\tau}\bold p=0 e E + m e B p × z ^ + τ 1 p = 0 其中，p = − m j / n e \bold p=-m\bold j/ne p = − m j / n e ω c \omega_c ω c π \pi π e B / m eB/m e B / m
e E − m ω c n e j × z ^ − m n e τ j = 0 e\bold E-\frac{m\omega_c}{ne} \bold j\times\hat z-\frac{m}{ne\tau}\bold j=0 e E − n e m ω c j × z ^ − n e τ m j = 0 即：
E α = m n e 2 ( ω c ϵ α β z + 1 τ δ α β ) j β \begin{align} E_\alpha&=\frac{m}{ne^2}({\omega_c}\epsilon_{\alpha\beta z}+\frac{1}{\tau}\delta_{\alpha\beta})j_\beta \end{align} E α = n e 2 m ( ω c ϵ α β z + τ 1 δ α β ) j β 写成矩阵表达式为：
E = ρ j , ρ = m n e 2 ( τ − 1 ω c 0 − ω c τ − 1 0 0 0 τ − 1 ) \bold E = \rho\bold j,\;\rho= \frac{m}{ne^2}\left(\begin{matrix} \tau^{-1}&\omega_c&0\\ -\omega_c&\tau^{-1}&0\\ 0&0&\tau^{-1} \end{matrix}\right) E = ρ j , ρ = n e 2 m τ − 1 − ω c 0 ω c τ − 1 0 0 0 τ − 1 这里，Hall项是非对角项（ρ x y , ρ y x \rho_{xy},\rho_{yx} ρ x y , ρ y x ρ x x , ρ y y , ρ z z z \rho_{xx},\rho_{yy},\rho_{zzz} ρ xx , ρ yy , ρ zzz
TIP 实际上，稳恒电流的条件为( ∂ p / ∂ t ) r = 0 (\partial\bold p/\partial t)_r=0 ( ∂ p / ∂ t ) r = 0 r \bold r r d p / d t = 0 \text{d}{\bold p}/\text{d}{t}=0 d p / d t = 0 稳恒电流建立后 ，作用在电流的单电子上的电场。而不是最初的外加电场。这其实并不奇怪，在直流电路中，所谓的电压也是稳恒电流形成之后，末态的电场形成的电压。
载流子迁移率# 