Phys. and shit

Matlab绘制晶格图

Thu, 02 Jan 2025 00:00:00 GMT

如何绘制简单的曲面

在绘制诸如tube、arrow、sphere等简单的几何图形，或一些稍微复杂的原子轨道（尤其是涉及球谐函数）时，我们通常会采用柱、球坐标的形式。下面给出在Matlab中建立曲线坐标系的思路。

柱坐标系

function [x,y,z,R] = cylinderMeshgrid(fpz,zlim)
%fpz为函数句柄, R = f(phi,z)
    z1 = linspace(zlim(1),zlim(2),30);               
    phi1 = 0:pi/180:2*pi;
    [phi,z] = meshgrid(phi1,z1);
    sz = size(phi);
    R = nan(sz);
    for i = 1:sz(1)
        for j = 1:sz(2)            
            R(i,j) = fpz(phi(i,j),z(i,j));
        end
    end   
    x = R.*cos(phi);
    y = R.*sin(phi);
end

球坐标系

function [x,y,z] = sphereMeshgrid(fpt)
%fpt为函数句柄, R = f(phi,theta)
    theta1 = 0:pi/180:pi;
    phi1 = 0:pi/180:2*pi;
    [phi,theta] = meshgrid(phi1,theta1);
    sz = size(phi);
    R = nan(sz);
    for i = 1:sz(1)
        for j = 1:sz(2)            
            R(i,j) = fpt(phi(i,j)+rottp(1),theta(i,j)+rottp(2));
        end
    end   
    x = R.*sin(theta).*cos(phi);
    y = R.*sin(theta).*sin(phi);
    z = R.*cos(theta);
end

如何旋转/平移生成的曲面

通过Meshgrid得到三组mgx, mgy和mgz矩阵（三组矩阵中，同一位置的元素便代表一个曲面上的点(x,y,z)），通过rotvec2mat3d函数将旋转矢量rotv转换为矩阵，对(xyz)坐标进行旋转，旋转后，再依次对各个坐标平移：

function [mgx,mgy,mgz] = rotTransMg(mgx,mgy,mgz,rotv,trans)
RM = rotvec2mat3d(rotv);
sz = size(mgx);
for j = 1:sz(1)
    for k = 1:sz(2)
        temp = RM*[mgx(j,k);mgy(j,k);mgz(j,k)];
        mgx(j,k) = temp(1) + trans(1);
        mgy(j,k) = temp(2) + trans(2);
        mgz(j,k) = temp(3) + trans(3);
    end
end
end

如何通过正格矢量生成一个原胞（PC）

原胞的顶点可以通过对正格矢进行组合操作得到。即，从3个格矢中挑出0，1，2，3个格矢，求和。得到的结果便是原胞的8个顶点： $$ 8=2^3=\sum_{j=1}^3\left(\matrix{3\j}\right) $$ 再通过MPT工具箱绘制多面体即可：

pp = Polyhedron('V',vtc); %vtc即原胞顶点，pp为多面体示例
plot(pp,'Color',[0,0,0],'alpha',0.5);
axis equal off %别忘了让三个坐标轴平权

如何将一个PC中的所有原子绘制出来

从相对原子坐标中，所有那些包含0的原子坐标（位于原胞的棱或顶点上），均是可以通过一个格矢的平移来生成一个位于原胞棱或顶点处的原子。如CrSb中，Cr的坐标是： $$ \matrix{0&0&0\0&0&0.5} $$ 可以预见，一个原胞内会出现的Cr原子数目为： $$ 2^2+2^3=12 $$ 绘制原子的方法则很简单，只要采用球坐标，令R为常数即可。

如何扩胞

设置各个方向的上限[n1,n2,n3]，在上限的范围内遍历所有格矢，并将这些格矢加在某原子的相对坐标上，若原子坐标的各个分量均在上限之内，则将其保存在原子列表中。这种方法下，可以令上限为[1,1,1]，从而取代上一节的方法。

function hv = expandCell(relr,lim)
%lim限定边界
hv = [];
vv = relr;
for i = 0:lim(1)
    for j = 0:lim(2)
        for k = 0:lim(3)
            if all((lim-vv-[i,j,k])>=0)
                hv = [hv;vv+[i,j,k]];
                vv = relr;
            else
                continue;
            end
        end
    end
end

end

如何绘制Bonds

绘制Bonds。输入值为(r1,r2)，令$\vec d = \vec r_2-\vec r_1$。首先在柱坐标系下绘制一个圆柱。圆柱的长度是$d$，圆柱的方向先沿着z轴，再旋转、平移到指定位置。

旋转矢量的方向为$\hat z\times \vec d/d$，大小为$\acos(\hat z\cdot \vec d/d)$。

function drawBond(r1,r2)
vecd = r2 - r1;
d = norm(vecd);
hatd = vecd/d;
hatz = [0,0,1];
cv = cross(hatz,hatd);
rotv = cv.*acos(dot(hatz,hatd))./norm(cv);
f = @(p,z) 0.1;
[x,y,z] = cylinderMeshgrid(f,[0,d]);
[x,y,z] = rotMeshgrid(x,y,z,rotv);
[x,y,z] = transformMeshgrid(x,y,z,r1);
ss = surf(x,y,z, ...
    'edgecolor','none','facecolor',150*[1,1,1]/256);
end

当通过两个点可以生成一条Bond后，我们只需要选定两组坐标集，再确定一个Bond的最小和最大值，后面要做的就是两两遍历这些坐标集，将符合长度的那些原子用Bond连接起来。最好保存一个连接矩阵，用于后续绘制多面体。

如何绘制多面体

选取中心原子，并将上述连接矩阵的行代表中心原子，并给出顶角原子的位置矩阵。连接矩阵的同一行中，那些为1的元素对应的原子坐标可以组成一个poly的顶点。利用MPT工具箱可以将顶点绘制为多面体。每行都会有一个多面体，将所有这些多面体依次绘制出来即可。

function drawPoly(conList,pos2)
%连接矩阵(中心原子为行), 位置2（顶角原子的位置）
%默认以行为中心
sz = size(conList);
for i = 1:sz(1)
    vtc = [];
    for j = 1:sz(2)
        if conList(i,j) == 1
            vtc = [vtc;pos2(j,:)];
        end
    end
    pp = Polyhedron('V',vtc);
    clr = [100,200,100]/256;
    plot(pp,'Color',clr,'alpha',0.1);
end

end

如何加高光特效

Matlab可以加光线效果，最多允许8个光源。

camlight
light
lighting phong
material shiny

如何导出高清图片

如果直接使用Matlab的内置方法来导出图片，会得到十分粗糙的结果。这里建议采用export_fig的库来导出图片（需要在mathwork官网下载）：

export_fig lattice_image.png -r1000 %r指分辨率

Hall Effect-Integer

Tue, 31 Dec 2024 00:00:00 GMT

Schrodinger's Equation of Hall Effect

当我们同时考虑电场和磁场时，磁场项会导致Landau levels，而电场项会导致Landau States的实空间中的平衡位置（谐振子）出现平移，进而导致垂直于电、磁场的群速度。这便是Hall Effect。

当我们考虑边界效应的时候，边界可以视为一个势垒，对其进行一级近似的时候，其作用类似于电场。因而也会导致一个垂直于电、磁场的电流。这个电流便是手性边界态。由于这个势垒在左、右的一级近似的符号相反，因而会导致相反的电流方向。手性是指，电流仅沿着某单一方向运动，其背散射被抑制（方向相反意味着该电子需要穿过整个体到达另外一个表面）。

手性异常：如果单独看某个界面态，其粒子数不守恒。仅当我们考虑体态及其泵浦效应（通过Hall 电流将某界面态的电子Pump到另一界面态中）时，粒子数才是守恒的。出现这种异常意味着，该体系仅仅是某个更大体系的边界态。

AB相位

将Berry Phase中的状态空间修改为矢势空间，可以得到AB相位的形式。二者均为几何相位。当电子绝热地绕如图螺线管外侧一圈后，会相比初态获得一个相位：

其中，相位因子正比于磁通量： $$ \theta = \frac{q\Phi}{\hbar} $$

Corbino Disc

现有一个圆环系统。圆环域用于模拟周期性晶格。中心空白处施加变化磁通，我们想模仿Hall effect的构型，利用这个含时磁通来构建一个沿着$x$轴方向的恒定电场。由Maxwell equations： $$ \begin{align} \oint\vec E\cdot\dd{\vec l} &= -\iint\frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot \dd{\vec a}\ 2\pi rE&=-\frac{\dd \Phi}{\dd t} \end{align} $$ 可以令： $$ \Phi=-2\pi r Et $$

令$x$轴沿着切向($\hat \theta$)，$y$轴沿着径向($\hat r$)。，需要一个沿着$x$方向的矢势： $$ \vec A=-Et\hat\theta $$ 取其旋量，得磁感应强度： $$ \begin{align} \nabla\times \vec A&=\frac{1}{r}\hat z(\partial_r(rA_\theta)-\partial_\theta A_r)\ &=\frac{1}{r}\hat z(-Et) \end{align} $$ 由此可得磁通为： $$ \Phi = \iint \frac{1}{r}(-Et)r\dd\theta\dd r=-(2\pi r_0E)t $$

计算热激活电阻的激活能

Mon, 30 Dec 2024 00:00:00 GMT

Arrhenius公式给出的热激活电导为： $$ \ln\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{E_g}{2k_B}\frac{1}{T} $$ 其中， $$ k_B=8.6173\times10^{-5}\text{eV} $$ 为Bolzmann常数。$\rho_0$可以任取，不影响斜率。令$E_g=\epsilon ;[\text{eV}]$ $$ \ln\frac{\rho}{\rho_0}=5802.3\epsilon\frac{1}{T} $$ 即，斜率除去5802.3即得到了以Electron volt 为单位的带隙。

MATLAB简单技巧

Thu, 12 Dec 2024 00:00:00 GMT

在使用matlabのapp的时候，经常会因为路径问题，需要来回切换工作文件夹。其实app在启动的时候，startupfcn是可以被执行的。只需要利用这一点，在startup时加入addpath(pwd)即可。(pwd可以获取函数所在路径，addpath类似于import，为临时添加路径)。
值得注意的是，在startupfcn中运行的pwd和其他函数中的pwd结果并不一致。似乎在启动app的时候matlab会切换当前文件夹。
制表符在disp中不能用'\t'表示，可以使用char(9)来代替。而在fprintf中则可以使用。

两种单位制下的磁化率

Wed, 11 Dec 2024 00:00:00 GMT

拿到数据(M[emu/g],T[K])，这是对质量归一的磁化强度（总磁矩/质量数）。或说1g该物质产生的磁矩。我们需要知道1 mol该物质产生的磁矩，则需要计算1g该物质有多少mol。要计算mol数，首先得确定计数单元（cu, Counting units）。

选取计数单元。如，将一组FeGa3原子集作为一个计数单元，则1 mol的该计数单元的质量为： $$ m_{mol}=55.8+69.7\times3=264.9 ;[\text{g/mol}] $$ 因而，1g 该物质包含$1/264.9=0.00377501$ mol的计数单元。故： $$ M\text{[emu/g]}=M\text{[emu/0.00377501 mol]}=264.9M\text{[emu/mol]} $$ 这就是说，1g该物质的磁矩为M，则1mol该计数单元的磁矩便是264.9g该物质的磁矩，即264.9M.

再除去磁场，得到(264.9*M/H[emu/Oe/mol],T[K])。

居里定律是： $$ M = \frac{\mu_0HN_An(g\sqrt{S(S+1)}\mu_B)^2}{3k_BT}=\frac{\mu_0HN_An(\mu\mu_B)^2}{3k_BT} $$ 其中，$\mu\mu_B$为等效磁矩，$nN_A$为1 mol 该物质的顺磁原子数目(故n为1mol该物质中的顺次原子的mol数，即，一个计数单元内的顺磁原子数)。

磁化率即： $$ \chi = \frac{M}{H}=\beta n\mu^2\frac{1}{T},\beta\equiv\frac{N_A\mu_0\mu_B^2}{3k_B} $$

通常会取倒数，然后用直线拟合： $$ \chi^{-1}=\frac{1}{\beta n\mu^2}T=kT $$

单位转换

$$ 1\text{A}\cdot\text{m}^2=10^3\text{emu}\ 1\text{T}:=10^4\text{Gs}:=10^4\text{Oe}\ 1\text{J} := 10^{7}\text{Oe}\cdot\text{emu}\ 1\text{Oe}=1000/4\pi ;\text{A/m} $$

常数

$\mu_B$：玻尔磁子。9.274$\times10^{-24}$ A$\cdot$ m$^2$=$9.274\times10^{-21}\text {emu}$.
$k_B$：玻尔兹曼常数。$1.380649 × 10^{-23}$J/K=$1.380649 × 10^{-16}$Oe$\cdot$ emu/K
$\mu_0$：$4\pi\times10^{-7} ;\text{N/A}^2$，CGS下为1.
$N_A$：6.02$\times 10^{23}$/mol

SI单位制

若数据为M=m[emu/mol]，H=h[Oe]，转换为国际单位，则是：

M = m/1000[A.m$^2$/mol]，H=h*1000/4$\pi$[A/m]

$\chi=$M/H=(m/h)*4$\pi$/$10^6$[m$^3$/mol]

计算$\beta$： $$ \beta=\frac{6.0210^{23}4\pi10^{-7}9.274^210^{-242}}{31.38064910^{-23}}\=4\pi1.2500510^{-7}[\text{m}^3/mol/K] $$ 由拟合斜率$k$计算磁矩： $$ 1/k=\beta n\mu^2\rightarrow\sqrt{n}\mu=\sqrt{1/k\beta} $$

CGS单位制

若数据为M=m[emu/mol]，H=h[Oe]，均为CGS制，无需换算，则磁化率为：

$\chi$=M/H=m/h[emu/mol/Oe]

计算$\beta$。代入常数，得到： $$ \beta=\frac{6.0210^{23}9.274^210^{-212}}{3*1.380649 *10^{-16}}=0.125005 $$ 其中，$\mu_0$在CGS下取为1。由拟合斜率$k$计算磁矩： $$ \sqrt{n}\mu=\sqrt{8/k} $$

磁化率曲线

Tue, 10 Dec 2024 00:00:00 GMT

居里定律

对于顺磁物质，有居里定律： $$ \left< M \right>=NgS\mu_BB_S(SX), X=\frac{g\mu_B\mu_0H}{k_BT} $$ 其中，$B_S$为Brillouin Function: $$ B_J(y)=\frac{2J+1}{2J}\coth\left(\frac{2J+1}{2J}y\right)-\frac{1}{2J}\coth\frac{y}{2J} $$ 其高温极限为： $$ \left<M\right>=\frac{Ng^2\mu_B^2S(S+1)\mu_0H}{3k_BT} $$ 其中，$g$为等效朗德因子，利用微扰论可以通过改变$g$值来引入LS耦合的作用，在顺磁共振中比较常见。$S$为体系（原子）的总自旋量子数，即原子物理常提到的单态（S=0），三重态（S=1）等。$N$是单位体积（或单位质量）的原子数，取决于$M$是如何取平均的。

:::tip

对于铁磁物质的Curie-Weiss 定律，只需将$T$换$T-\Theta$即可，$\Theta$为相变温度。

:::

单位问题

emu

VSM测量磁化，给出的物理量的单位是$\text{emu/g}$。某些经验中给出了以下公式（可见这是磁矩的单位）： $$ 1\text{emu}=10^{-3}\text{A}\cdot\text{m}^2 $$

磁化强度

在电磁学中，磁化强度是对体积归一的磁矩，而此处给出的单位$\text{emu/g}$是对质量归一的磁矩。

磁场

磁场的单位为$\text{Oe}$，数值上与T(Tesla)的关系为： $$ 1\text{T}=10000\text{Oe} $$ 实际上，在CGS下，可以视为$\mu_0$被并入了$H$： $$ H(\text{CGS})=\mu_0H(\text{SI})\ \begin{align} 1\text{Oe}&=4\pi\times10^{-7}\text{N/A}^2\times 10^3/4\pi; \text{A/m}\ &=10^{-4}\text{N}/(\text{A}\cdot \text{m})=10^{-4}\text{T} \end{align} $$ 另外，注意到： $$ 1\text{T} = 1\text{N}/(\text{A}\cdot \text{m})=1\text{N}\cdot \text{m}/(\text{A}\cdot\text{m}^2)=10^{-3}\text{J}/\text{emu} $$ 即： $$ 1\text{Oe}=10^{-7}\text{J/emu} $$ 或： $$ 1\text{J} = 10^{7}\text{Oe}\cdot\text{emu} $$

居里定律：应用

若使用Oe作为磁场单位，应该将$\mu_0$并入$H$： $$ \chi=g^2S(S+1)\frac{N\mu_B^2}{3k_BT},;\chi\equiv\frac{M}{\mu_0 H} $$ 此时，磁化率单位为$\text{emu}\cdot\text{Oe}^{-1}\cdot \text{g}^{-1}$. 对于原子的价电子可以近似为单个自由电子（$ns^1$）的情况下,可取$S=1/2,g=2$： $$ \chi=\frac{N\mu_B^2}{k_BT} $$ 分析磁化率曲线，可取倒数： $$ \frac{1}{\chi}=\frac{k_B}{N\mu_B^2}T $$ 斜率的单位应该为$\text{K}^{-1}\text{emu}^{-1}\cdot\text{Oe}\cdot\text{g}$.

$N$：单位为$g^{-1}$，表示单位质量的顺磁原子数。假设其数值为$n$
$\mu_B$：玻尔磁子。9.274$\times10^{-24}$ A$\cdot$ m$^2$=$9.274\times10^{-21}\text {emu}$.
$k_B$：玻尔兹曼常数。$1.380649 × 10^{-23}$J/K=$1.380649 × 10^{-16}$Oe$\cdot$ emu/K

综上，斜率为： $$ k=16.053\times 10^{23}/n ;[\text{Oe.g/K/emu}] $$ 其中，n为 1g 物质中的顺磁原子数： $$ N=2.66/k ;;[\text{mol/g}] $$

非顺磁

此时，由于未知$g,S$，直接将这些并入$\mu_B$，并将其理解为等效磁矩$\mu_S$： $$ \chi = \frac{N_An(g\sqrt{S(S+1)}\mu_B)^2}{3k_BT}=\frac{N_A\mu_S^2}{3k_BT} $$ 其中，$N=nN_A$，$N_A=6.02\times 10^{23}$为Avogadro constant. 对质量($g$)归一的情况下，

$N$表示每克的顺磁原子数，则$n$表示每克中的顺磁原子摩尔数.

通常讨论原子磁矩时，会以$\mu_B$为unit，则： $$ \chi=\frac{nN_A(\mu\mu_B)^2}{3k_BT} $$ 取倒数： $$ \frac{1}{\chi}=\frac{3k_B}{nN_A\mu_B^2\mu^2}T $$ 仍然采用CGS单位制。代入常数： $$ \chi^{-1}=\frac{8}{n\mu^2}T $$ 要求出每个Fe-Site中的顺磁原子数，需要知道1g物质中的Fe-Site mol数(设为$x$)，现每g中有n mol顺磁原子，而每g中有x mol Fe-Sites，则每个Fe-Site的平均顺磁原子数n'=n/x： $$ \frac{1}{\chi/x}=\frac{8}{n'\mu^2}T $$ 此处，$\chi/x$便是对mol归一（Fe-Site 作为Unit）的磁化率。其单位是： $$ \text{emu}\cdot\text{Oe}^{-1}\cdot g^{-1}\cdot(\text{mol/g})^{-1}=\text{emu}\cdot\text{Oe}^{-1}\cdot \text{mol}^{-1} $$

Conclusion

在CGS单位制(磁场-Oe, 质量-g, 磁矩-emu, 温度-K, 真空磁导率-1)下，居里定律在数值上可以表述为： $$ \chi^{-1}=\frac{8}{n\mu^2}T $$ 其中，$\chi$是对 g或mol（对mol归一时，注意以谁为unit）归一的磁化率（单位：$\text{emu}\cdot\text{Oe}^{-1}\cdot \text{g}^{-1}$或$\text{emu}\cdot\text{Oe}^{-1}\cdot \text{mol}^{-1}$）。$n$是每 g或1mol units 中的顺磁原子的mol数（对mol的情况，显然也可以是每个units中的顺磁原子数）。$\mu$是每个顺磁原子的磁矩（以$\mu_B$为单位）。$T$为温度（单位：K）。

举个例子

如，处理FeGa3体系时，若要研究每个Fe-Site上的平均磁矩，则首先取一个Unit为包含单一Fe-Site的Unit，不妨就取为FeGa3。1g的FeGa3包含0.00377mol的Unit，因而： $$ \frac{1}{\chi}=\frac{8}{xn'\mu^2}T $$ 此处，$x=0.00377$ [mol/g]，$n'$为每个Fe-Site (或每份FeGa3原子集中) 上的平均顺磁原子。

在Magnetic Moments of Transition Metals - Chemistry LibreTexts上可以查到过渡族的局域磁矩值。比如对Fe(III) lowspin，$\mu = 1.73$。

记拟合斜率为$k$, 则： $$ n'=\frac{8}{kx\mu^2} $$

Fermi_liquid

Sun, 01 Dec 2024 00:00:00 GMT

Semi-classical transport

Sun, 01 Dec 2024 00:00:00 GMT

输运理论：在 Semi-classic Bloch electron 的理论框架下，求解输运物理量时，需要首先求解分布函数。通过假设 1）局域平衡分布；2）稳恒状态并引入碰撞项，可以得到分布函数的动力学方程。在此基础上，引入弛豫时间近似，可以将碰撞项取为利于求解方程的形式。至此便得到了 Bolzmann 输运方程。

分布函数指粒子出现在某态上的概率。对于半经典的Block电子波包（外场波长>>波包宽度>>晶格常数），分布函数可以理解为在相空间${(k,r)}$上的一点$(k,r)$处的粒子数密度（0~1）。其中，省略了$k,r$的矢量符号，在使用时注意甄别。

电子分布函数可以表示为： $$ f(k,r;t)\equiv f(k(t),r(t);t)\equiv f(t) $$ 需要注意，函数$f$最终仅仅依赖于时间$t$，因为$k,r$均依赖于时间。又要注意$f\neq f(k(t),r(t))$，也就是说，即便$k,r$不随时间变化，分布函数也允许随时间改变。

半经典电子的运动方程为： $$ \begin{align} \frac{\text{d} r}{\text{d} t}&=\frac{1}{\hbar}\partial_k\epsilon(k)\ \hbar\frac{\text{d} k}{\text{d} t}&=-e[E(r,t)+\frac{\text{d} r}{\text{d} t}\times B(r,t)] \end{align} $$

需要注意，此处的能带色散$\epsilon(k)$略去了带指数，这样做忽略了带间跃迁的可能性，电子运动的相空间代表某个特定带指数下的Bloch电子状态集合。

上式的形式需要我们注意“偏微分”与“全微分”两种不同的表达： $$ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{f(k,r,t+\text{d} t)-f(k,r,t)}{\text{d} t}\ \frac{\text{d} f}{\text{d} t}=\frac{f(k+\frac{\text{d} k}{\text{d} t}\text{d} t,r+\frac{\text{d} r}{\text{d} t}\text{d} t,t+\text{d} t)-f(k,r,t)}{\text{d} t} \end{align} $$ 如果观察$(k,r)$构成的相空间，前者意味着盯住相空间中一个定点，观察该处体积元内的“点子数目”（或称为相空间电子密度，简称相密度。这里，分布函数的值是一个抽象的概率，同样也可以被可视化为“点子”的密度分布）的变化。而后者则是在追踪相空间中的一条运动轨道（因为$k,r$依赖于时间，因而构成轨道，不同的初值会引向不同的轨道），观察该轨道在$t$时刻时对应的点处的相密度。

该分布函数建立在局部平衡的假设之上。即，位于$r$处的某物理小体积中的小系统在任意时刻$t$均处于平衡状态，或说其弛豫时间极短，可以立刻达到平衡。该小系统中的电子的波矢量便是$k$。若体系处处处于平衡态（温度均匀、无外场），则该函数退化为Fermi分布函数： $$ f_0(k,r)=\frac{1}{1+\exp(\frac{\varepsilon(k)-\mu(r)}{k_BT(r)})} $$ 当仅存在外场，不存在散射时，同一体积元内的电子将沿着相同的轨道运动，因而这一轨道上的电子态密度处处相等，因而有： $$ \frac{\text{d} f}{\text{d} t}=0 $$ 而散射的引入使得不同轨道之间出现了电子的交换。

可以人为将分布函数分割为两个部分：相轨道与相密度场。前者通过参数方程$k=k(t),r=r(t)$表示，由电子的半经典方程描述，因而轨道彼此不允许交叉。后者通过多元函数$\rho=f(k,r,t)$表示，依赖于系统的实际状态。

由于相密度场本质上是由粒子数密度构成的场，其变化需要服从于粒子的运动方程。两个部分需要满足一致性条件。如下文所述：

当不计入散射时，粒子运动严格依赖于动力学方程，即不允许轨道交叉，$\text{d} f/\text{d} t =0$： $$ \frac{\partial f}{\partial k}\frac{\text{d} k}{\text{d} t}+\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\text{d} r}{\text{d} t}+\frac{\partial f}{\partial t}=0 $$ 这里，我们已经选取了$k,r,t$作为$f$的宗量，因而偏微分具有省略的形式，例如：$\partial f/\partial k \equiv (\partial f /\partial k)_{r,t}$

当存在外场时，上式不再成立。引入碰撞项($\xi(k,r,t)$)来衡量散射造成的影响。即$\text{d} f/\text{d} t = \xi $

所谓的稳态，即相密度场不随时间改变： $$ \frac{\partial f}{\partial t}=0 $$ 更形象地说，就是固定在相空间座标架上的点的态密度恒定不变。因而态密度随时间的变化完全由于电子在相空间中沿着轨道的运动。非平衡稳态是由于电子在相空间的移动过程中建立起来的。

对于存在散射的非平衡稳态系统中的电子，其一致性条件为： $$ \frac{\partial f}{\partial k}\frac{\text{d} k}{\text{d} t}+\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\text{d} r}{\text{d} t}=\xi(k,r,t) $$ 通过半经典电子运动方程，引入外场的作用。上式的左侧第一项为： $$ -\frac{e}{\hbar}\frac{\partial f}{\partial k}\cdot(E+\dot{r}\times B) $$ 注意到: $$ f=f_0+f_1 $$ 即，非平衡稳态的分布函数仅仅对平衡分布$f_0$有一个小的偏离$f_1$。在这里，我们将$f_0$作为零级近似，仅当零级近似项为零的情况下，才考虑$f_1$的影响。对于偏微分的情况，我们假设$f_1$在相空间是缓变的，其变化速度小于$f_0$。如，对于磁场项，由于： $$ \frac{\partial f_0}{\partial k}=\frac{\partial \epsilon}{\partial k}\frac{\partial f_0}{\partial \epsilon}=\hbar\frac{\partial f_0}{\partial \epsilon}\dot{r} $$ 而$\dot{r}\cdot (\dot{r}\times B)=B\times(\dot r\cdot \dot r)=0$，故磁场项的零级项为零，需要考虑$f_1$的影响： $$ -\frac{e}{\hbar}\frac{\partial f}{\partial k}\cdot(\dot r \times B)=-\frac{e}{\hbar}\frac{\partial f_1}{\partial k}\cdot (\dot r\times B) $$ 而电场项中$f_1$的影响较小： $$ -\frac{e}{\hbar}\frac{\partial f_0}{\partial k}\cdot E=\frac{\partial f_0}{\partial\epsilon}\dot{r}\cdot (-eE) $$ 已经假设$\partial f_0/\partial k\gg \partial f_1/\partial k$。因而要观察到输运现象中的磁效应，往往需要： $$ \abs{v_F\times B}\gg \abs{E} $$

对坐标的微分项如下： $$ \frac{\partial f_0}{\partial r}\cdot \frac{\text{d} r}{\text{d} t}=\left(\frac{\partial f_0}{\partial \mu}\frac{\text{d} \mu}{\text{d} r}+\frac{\partial f_0}{\partial T}\frac{\text{d} T}{\text{d} r}\right)\cdot \frac{\text{d} r}{\text{d} t} $$ 考虑其中的化学势项， $$ \partial_\mu f_0=\frac{1}{(1+\exp(\cdots))^2}\times\exp(\cdots)\times\frac{1}{k_BT}=\frac{f_0-f_0^2}{k_BT}=\frac{f_0(1-f_0)}{k_BT}\ \partial_\mu f_0\frac{\text{d} \mu }{\text{d} r}\cdot\dot r=\frac{1}{k_BT}f_0(1-f_0)\dot r\cdot\nabla\mu $$ 其中： $$ \partial_\epsilon f_0=\frac{-\exp(\cdots)}{(1+\exp(\cdots))^2}\times\frac{1}{k_BT}=\frac{1}{k_BT}(f_0^2-f_0)=-\frac{1}{k_BT}f_0(1-f_0) $$ 注意到电场是电势能的负梯度，因而电场项可以表示为： $$ \partial_\epsilon f_0=-\partial_\mu f_0\ \partial_\epsilon f_0\dot r\cdot (-eE)=\frac{1}{k_BT}f_0(1-f_0)\dot r\cdot \nabla U $$ 可见化学势项和电场项可以合并为电化学势项： $$ \frac{1}{k_BT}f_0(1-f_0)\dot r\cdot \nabla(\mu+U) $$ 再考虑温度项： $$ \partial_Tf_0=f_0(1-f_0)\times\frac{-\epsilon+\mu}{k_B^2T^2}\ \partial_Tf_0\dot r\cdot\nabla T=\frac{1}{k_BT}f_0(1-f_0)\dot r\cdot\frac{-\epsilon+\mu}{k_B}\nabla \ln T $$

综上，方程可以表示为： $$ \beta v\cdot \left{\nabla(\mu + U)-\frac{\epsilon-\mu}{k_B}\nabla\ln T \right}-\frac{e}{\hbar}\frac{\partial f_1}{\partial k}\cdot (v\times B)=\xi $$ 其中， $$ \beta = \frac{1}{k_BT}f_0(1-f_0)=-\frac{1}{k_BT}\partial_\epsilon f_0 $$ 磁感应强度也可以替换为矢量势： $$ v\times(\nabla\times A)=\nabla(v\cdot A)-A(\nabla\cdot v)=\nabla(v\cdot A) $$

下面讨论碰撞项的弛豫时间近似模型。碰撞导致了轨道间的跃迁。注意到无碰撞的后果是轨道不出现交叉，因而各个轨道附近的粒子数密度保持恒定，即： $$ \frac{\text{d} f}{\text{d} t}=0 $$ 当我们关注某个单电子，其与系统中其他粒子的两次碰撞之间的间隔时间，即为弛豫时间。弛豫时间越短，电子与系统的作用越剧烈，则系统恢复平衡态的速度越快，准粒子寿命越短。弛豫时间近似假设了如下情况： $$ \frac{\text{d} f}{\text{d} t}=-\frac{f-f_0}{\tau} $$ 负号表示偏离随时间的增加而减小($f-f_0>0$)。当粒子在相空间保持静止时（即$k,r$不依赖于时间，进而$f_0$不依赖于时间），上式的解为： $$ f=f_1(t=0)e^{-t/\tau}+f_0 $$

弛豫时间近似下，电场的作用可以通过解Bolzmann方程得到： $$ \beta v\cdot\nabla U=-\frac{f-f_0}{\tau} $$

$$ -\frac{1}{k_BT}\tau f_0(1-f_0) v\cdot \nabla U+f_0=f $$

或者用最初的形式： $$ \frac{e}{\hbar}E\cdot\partial_kf_0=\frac{f-f_0}{\tau} $$ 注意到： $$ \Delta f=\nabla f\cdot\text{d} l=f(l)-f(l+\text{d} l) $$ 且$f-f_0=f_1$已经假设为小量（因而$e\tau E/\hbar$也必须是小量），故： $$ f(k)=f_0(k+\frac{e\tau}{\hbar}E) $$ 即，电场的作用是令Fermi Sphere的中心出现微小的移动。

考虑在$\vec k$空间对函数$\psi(\vec k)$的求和： $$ \sum_k \psi(k),k=lK_j/N_j,l\in \mathbb Z,-N_j<l<N_j $$

其中，因子2源于自旋简并，即，已经假设$\psi_\uparrow=\psi_\downarrow$。 $$ \frac{2}{\Delta \vec k}\sum_k \psi(\vec k)\Delta \vec k=\frac{V}{4\pi^3}\int\psi(\vec k)\text{d} {\vec{k}} $$

其中，$\Delta k$是倒格子原胞的$1/N(N\equiv N_1N_2N_3)$。$N$是总的原胞数目，是$10^{23}$量级，因而对$k$的求和采用连续化近似是相当合理的： $$ \Delta k=\Omega^/N=(2\pi)^3/(\Omega N)=8\pi^3/V $$ 其中，$\Omega,\Omega^$为正格子和倒格子的原胞体积，$V$为晶体的总体积。

一种常用的积分方法。首先注意到等能面可以遍历整个1stBZ，否则意味着有些电子态没有确定的能量。并且等能面只会遍历一次1stBZ，否则那些重复遍历的位置的电子态将具有多个能量，对于同一条能带上的电子而言，这是不允许的。因而我们总可以先对某个等能面积分，再对所有允许的能量积分。注意到$\text{d} \epsilon$并不是$\vec k $空间中的单位线元，即，如果取一个沿着$\nabla_k \epsilon $方向的线元$\text{d} l$，有$\text{d} \epsilon/\text{d} l\neq 1$。因而需要归一化。选取线元$\text{d} {\vec {l}}$，则： $$ \text{d} \epsilon=\nabla_k\epsilon\cdot\text{d}{\vec l}=\abs{\nabla_k\epsilon}\text{d} l $$ 其中，$\text{d} l$已经取为沿着能量梯度方向的一段线元。综上，当处理函数$\psi(\epsilon(\vec k))$形式的函数时，总可以做如下变换： $$ \begin{align} \int \psi(\epsilon(\vec k))\text{d}{\vec k} &=\int\text{d} \epsilon\int_{S(\epsilon)}\text{d} a\frac{\psi(\epsilon(\vec k))}{\abs{\nabla_k \epsilon}} \end{align} $$ 注意引入的归一化因子$1/\abs{\nabla_k\epsilon}$，用于使$\text{d} \epsilon$归一化为$\vec k$空间中的单位线元。

通过上述步骤可以允许我们通过能带的色散关系导出态密度（通常提及态密度，默认为能量空间中的电子态密度）的表达式。已知BZ中总的电子态可以直接数$\vec k$空间中的电子态数目，亦可将态密度对能量积分，即： $$ \sum_k2=\int g_n(\epsilon)\text{d}\epsilon $$ 其中，$n$为带指数，$g_n$为能带$n$的态密度。等式左侧可以化为积分形式： $$ \sum_k2=\frac{V}{4\pi^3}\int\text{d}{\vec k}=\frac{V}{4\pi^3}\int\text{d}\epsilon\int_{S(\epsilon)}\text{d} a\frac{1}{\abs{\nabla_k\epsilon}} $$ 即，对于某条能带，其态密度为： $$ g_n(\epsilon)=\frac{V}{4\pi^3}\int_{S(\epsilon)}\frac{\text{d} a}{\abs{\nabla_k\epsilon}} $$ 这也提醒我们，态密度是广延量，当晶体体积越大时，$\vec k$空间中的点子越密集，因而态密度也就随之变大了。

由于$\epsilon(\vec k)$是连续可导的周期函数，根据中值定理，在BZ中必须存在$\nabla_k\epsilon=0$的点。这会导致大多数情况下，低维情况$g_n$发散，三维情况$\text{d}{g_n}/\text{d}{\epsilon}$发散。考虑三维Fermi sphere，即能量色散为各向同性三维抛物面，$\epsilon=\beta k^2$，则： $$ \nabla_k\epsilon=2\beta\vec k,\abs{\nabla_k\epsilon}=2\beta k $$

$$ \begin{align} g_n(\epsilon)&=\frac{V}{4\pi^3}\int_{k^2=\epsilon/\beta}\text{d} a\frac{1}{2\beta k}\ &=\frac{V}{4\pi^3}\int_{k^2=\epsilon/\beta}\frac{1}{2\beta k}\times (k^2 \sin\theta \text{d}\phi\text{d}\theta)\ &=\frac{V}{4\pi^3}\frac{\sqrt{\epsilon/\beta}}{2\beta}\int\sin\theta\text{d}\phi\text{d}\theta\ &=\frac{V}{4\pi^3}\times4\pi\times\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\epsilon}{\beta^3}}\ &=\frac{V}{2\pi^2\sqrt{\beta^3}}\sqrt{\epsilon} \end{align} $$

可见，Fermi sphere的中心是一个态密度的奇点，$\text{d}{g_n}/\text{d}\epsilon\propto\epsilon^{-1/2}$。若将三维抛物面更换为各向异性，则一些情况下可以得到具有拐点的$g_n(\epsilon)$函数。这些奇异点均称之为van Hove 奇异 (Singularity)。它源于晶体的平移对称性，是晶体的本征属性。（因为晶体有了平移对称性，才能够保证$\nabla_k\epsilon=0$的位置必然存在，从而导致发散）

电流密度为单位时间内通过单位截面的电荷量，选取$\text{d} V$作为子系统，其电流密度为： $$ \vec J = \frac{\text{d} V}{4\pi^3}\int(-e\vec v)f\text{d}{\vec k} $$

已知平衡状态下无电流，即$\int vf_0\text{d}{\vec k}=0$，故： $$ \begin{align} \vec J &= \frac{-e\text{d} V}{4\pi^3}\int \vec vf_1\text{d}{\vec k}\ &=\frac{-e^2\text{d} V}{4\pi^3\hbar}\int \vec v\tau \frac{\partial f_0}{\partial \vec k}\text{d}{\vec k}\cdot \vec E \end{align} $$ 其中： $$ \begin{align} \int \vec v\tau\nabla_kf_0\text{d}{\vec k}&=\int \vec v\tau\partial_\epsilon f_0\frac{\text{d} \epsilon}{\text{d} {\vec k}}\text{d} {\vec k}\ &=-\int\vec v\tau(-\partial_\epsilon f_0)\hbar\vec v\text{d}{\vec k}\ &=-\hbar\int\tau\delta(\epsilon-\epsilon_F)\vec v\vec v\text{d}{\vec k}\ &=-\hbar\int\delta(\epsilon-\epsilon_F)\text{d}\epsilon\int_{S(\epsilon)}\frac{\vec v\vec v}{\abs{\nabla_k\epsilon}}\tau(\vec k)\text{d}{a}\ &=-\int\delta(\epsilon-\epsilon_F)\left[\int_{S(\epsilon)}\tau(\vec k)\frac{\vec v\vec v}{v}\text{d} a\right]\text{d}\epsilon\
&=-\int_{S(\epsilon_F)}\tau(\vec k)\frac{\vec v\vec v}{v}\text{d} a

\end{align} $$ 注意到仅当能量积分范围包含$\epsilon F$时，上式成立，即上式求出的是金属的情况，否则将会得到零，需要考虑更高阶的非平衡分布，如$f_2,f_3$。这也可以解释为什么半导体的电导率远小于金属。综上，金属中的电流密度可以表示为： $$ \vec J=\left[\frac{e^2\text{d} V}{4\pi^3\hbar}\int{S(\epsilon_F)}\tau(\vec k)\frac{\vec v \vec v }{v}\text{d} a\right]\cdot\vec E=\hat \sigma\cdot\vec E $$ 电导率为张量： $$ \hat \sigma=\beta\int_{S(\epsilon_F)}\tau\frac{\vec v\vec v}{v}\text{d} a $$ 其中，$S(\epsilon_F)$即Fermi Surface。下面讨论简单立方对称性对$\hat\sigma$的限制。将其写为矩阵表达式（用$V$来指代$\vec v$的列向量）： $$ \hat\sigma=\beta\int_{S_F}\frac{\tau}{v}VV^{T}\text{d} a $$ 则其转置为： $$ \hat\sigma^T=\beta\int_{S_F}\frac{\tau}{v}(VV^T)^T\text{d} a=\hat\sigma $$ 故这是一个对称张量。引入简单立方对称性后，将三个四度对称轴放在$x,y,z$轴上。当立方沿$z$轴旋转$90\degree$时，$x$变为$y$，$y$变为$-x$，$z$不变。根据四度对称性可知： $$ \sigma_{xy}=\sigma_{y,-x}=\beta\int\frac{\tau}{v}v_yv_{-x}\text{d} a=-\sigma_{yx}\ \sigma_{xx}=\sigma_{yy} $$ 此处，$v_{-x}=\vec v\cdot(-\hat x)=-v_x$。注意到$\hat\sigma$为对称张量，故有： $$ \sigma_{xy}=-\sigma_{yx}=-\sigma_{xy}=0 $$ 显然，$\hat\sigma$只有三个相等的对角元，其余皆为$0$。显然有： $$ v_x^2=v_y^2=v_z^2=\frac{1}{3}v^2\ v=\sqrt{3v_x^2} $$ $\hat\sigma$可以表示为一个数字： $$ \sigma=\frac{\beta}{3}\int_{S_F}\tau v\text{d} a=\frac{\beta}{3}\int_{S_F}l(\vec k)\text{d} a $$ 其中，$l$为平均自由程。

电声互作用本质上是在绝热近似的基础上引入晶格振动的微扰项。考虑简单晶格情况，晶格周期势在绝热近似下表示为各个离子的库伦势的和： $$ V_0=\sum_lv(\vec r-\vec l) $$ 其中，$\vec l$为正格矢。引入晶格振动： $$ \begin{align} V^\prime&=\sum_l\left{ v(\vec r-\vec l-\vec u_l) - v(\vec r-\vec l) \right}\ &=-\sum_l\left{ \vec u_l\cdot\nabla v(\vec r-\vec l) \right}

\end{align} $$ 已经采用了小位移近似，在简谐近似下，格波表示为： $$ \vec u_l=\vec A e^{i(\vec q\cdot l-\omega t)} $$ 代入微扰项： $$ \begin{align} V^\prime&= -\sum_l\left{e^{i(\vec q\cdot\vec l-\omega t)}\vec A\cdot \nabla v(\vec r-\vec l)\right}\ &=-e^{-i\omega t}\sum_le^{iql}\vec A\cdot \nabla v(\vec r-\vec l)\ &=e^{-i\omega t}s_q \end{align} $$ 这是含时微扰项，采用 Fermi’s golden rule 来描述跃迁速率（即单位时间的跃迁概率）： $$ R(k\rightarrow k')=\frac{2\pi }{\hbar}\delta(\epsilon'-\epsilon-\hbar\omega) \left| \bra{k}s_q\ket{k'} \right|^2 $$ 其中，$\ket{k}$为Bloch态： $$ \bra{r}\ket{k}=u(\vec r)\exp(i\vec k\cdot\vec r), u(\vec r+\vec l)=u(\vec r) $$ 求解矩阵元： $$ \begin{align} \bra{k} s_q\ket{k'} &=\sum_l\bra{k}e^{iql}\vec A\cdot \nabla v(\vec r-\vec l)\ket{k'}\ &=\int\text{d} r\int \text{d}{r'}\sum_l\bra{k}\ket{r}\bra{r}e^{iql}A\cdot\partial_rv(r-l)\ket{r'}\bra{r'}\ket{k'}\ &=
\int \text{d} r\sum_l u(r)u^(r)e^{i(k'-k)r}e^{iql}A\cdot\partial_rv(r-l)\ &= \int \text{d} r\sum_l u(r+l)u^(r+l)e^{i(k'-k)(r+l)}e^{iql}A\cdot\partial_rv(r)\ &= \int uu^*e^{i(k'-k)r}A\cdot\partial_rv(r)\text{d} r\sum_le^{i(k'-k+q)\cdot l}\ &= \bra{k}A\cdot\partial_rv(r)\ket{k'}\delta_{k'-k+q+G_h,0} \end{align} $$ 这给出了动量守恒要求： $$ k'-k+q=G_h $$ 不作更精细的讨论。上式表明，可以发射或吸收一个声子，前后的总动量差为一个倒格矢。当倒格矢不为0时，称为U process，否则为N process。

About the Fraction

Sun, 01 Dec 2024 00:00:00 GMT

今有一问：一个物体在斜面上静止，此时向物体施加垂直于斜面坡度方向（垂直于纸面向内）的力$F$，物体将会如何运动？

定性分析：

物体在静止状态时，受到沿斜面向下的力（$mg\sin\theta$）和与相对运动趋势相反的静摩擦力（相对运动趋势，即，以斜面作为参照系，除去静摩擦力以外的其他力的合力方向）
物体在受到力$F$作用后，相对运动趋势改变，此时静摩擦力将会逆着$F$与$mg\sin\theta$的合力方向（静摩擦力），大小与这些力的合力相等。
当$F$足够大时，物体开始运动。这个瞬间，静摩擦力变为滑动摩擦力，其方向将会逆着物体运动方向（而不是像静摩擦力那样，与其他力的合力方向相反）。其大小由其对斜面的正压力（$mg\cos\theta$）和二者之间的滑动摩擦因数（$\mu$）有关。

运动方程

更进一步，我们尝试求解这一运动的轨迹。取$x,y$轴沿着$F,F_1$方向，由经典力学运动方程： $$ m\frac{\partial^2 \vec r}{\partial t^2}=F\hat x+F_1\hat y-\frac{f}{|v|}\frac{\partial \vec r}{\partial t} $$ 写成分量方程（正交分解）： $$ \begin{align} \frac{\text{d} v_x}{\text{d}t}+\frac{f}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}v_x=F/m\ \frac{\text{d} v_y}{\text{d}t}+\frac{f}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}v_y=F_1/m\ \end{align} $$

数值求解

解析解很难求解，考虑数值求解： $$ \frac{v_x(t_{n})-v_x(t_{n-1})}{\Delta t}+\frac{f}{v(t_n)}v_x(t_n)=F/m\ \frac{v_y(t_{n})-v_y(t_{n-1})}{\Delta t}+\frac{f}{v(t_n)}v_y(t_n)=F_1/m\ v(t_n) = \sqrt{v_x^2(t_n)+v_y^2(t_n)} $$ 化简为： $$ v_x(t_{n+1})-v_x(t_{n})+\frac{f\Delta t}{v(t_n)}v_x(t_n)=F\Delta t/m\ v_x(t_{n+1})=\left(1-\frac{f\Delta t}{v(t_n)}\right)v_x(t_n)+F\Delta t/m\ $$ 对于$y$分量，情况类似。初始条件为$v=0$。由以上递推公式可以求解$t_n$时刻的速度。下图展示了$1; \text{ns}$ 的时间内，物块的运动轨迹。

以下是模拟代码：

clear;clc;
theta = 20/180*pi;

m = 2;
g = 9.8;
mu = 0.7;

F = 10; %N
F1 = m*g*sin(theta);

para.f = mu*m*g*cos(theta);
para.delta = 0.0000000000001;
para.m = m;

vxn = 0.0000001;
vyn = 0;
vx_arr = [];
vy_arr = [];
for j = 1:100000
    vx_arr = [vx_arr,vxn];
    vy_arr = [vy_arr,vyn];
    %tn = j*para.delta;
    para.v = sqrt(vxn^2+vyn^2);
    para.F = F;
    vxn = vxnp1(vxn,para);
    para.F = F1;
    vyn = vxnp1(vyn,para);
end

rx = intarr(vx_arr);
ry = intarr(vy_arr);

ax = axes;
plot(ax,rx,ry,'*');
ax.XDir = 'reverse';
ax.YDir = 'reverse';
xlabel(ax,'x [m]');
ylabel(ax,'y [m]');
myAxStyle(ax);


%%
function rr = vxnp1(vxn,para)
    rr = (1-para.f*para.delta/(para.v))*vxn+para.F*para.delta/para.m;
end

%%
function rr = intarr(arr)
    rr = arr;
    for j = 1:length(arr)
        rr(j) = sum(arr(1:j));
    end
end

解析解尝试

首先，尝试求解齐次方程： $$ \sqrt{1+(\frac{v_y}{v_x})^2}\text{d}v_x=-f\text{d}t\ h(v_x/v_y)=-ft+C $$ 其中， $$ h(x)=\sqrt{1+x^2}+\ln|x+\sqrt{1+x^2}|-1 $$ 是超越函数，无法写出其逆函数的解析表达式，记其逆为$h^{-1}$，则： $$ v_x = v_yh^{-1}(c_x-ft)\ v_y = v_xh^{-1}(c_y-ft) $$

$$ h^{-1}(c_x-ft)=\frac{1}{h^{-1}(c_y-ft)}\ c_x=h(\frac{1}{h^{-1}(c_y-ft)})+ft $$

$$ c_x=h(\frac{1}{h^{-1}(c_y)}),c_y=h(\frac{1}{h^{-1}(c_x)}) $$

$$ c_x=c_y=c $$

$$ (c-ft)=h(\frac{1}{h^{-1}(c-ft)}) $$

$$ h(1/x)=\frac{1}{x}\sqrt{1+x^2}+\ln|1+\sqrt{1+x^2}|-\ln|x|-1\ $$

求解不定积分： $$ \begin{align} \int\sqrt{1+(\frac{q}{x})^2}\text{d}x&=\int\frac{x^2}{x^2}\text{d}x\sqrt{1+(\frac{q}{x})^2}\ &=-\frac{q^2}{q}\int (x/q)^2\text{d}\frac{q}{x}\sqrt{1+(\frac{q}{x})^2}\ &=-{q}\int\text{d}t\frac{1}{t^2}\sqrt{1+t^2}\ &=-q\int\text{d}\tan\theta\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\frac{1}{\cos\theta}\ &=-q\int\frac{1}{\sin^2\theta\cos\theta}\text{d}\theta\ &=-q\int[\frac{1}{\cos\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}]\text{d}\theta\

\end{align} $$

Hall effect

Wed, 27 Nov 2024 00:00:00 GMT

磁场下的Ohm's law

在线性响应区间内，Ohm定律适用： $$ j_\alpha = \sigma_{\alpha\beta}E_\beta \text{\quad and\quad}E_\alpha = \rho_{\alpha\beta}j_\beta $$ 在磁场存在的情况下，上式仍然成立，但 Onsager's reciprocity principle 将被 Time reversal 取代： $$ \sigma_{\alpha\beta}(\bold B)=\sigma_{\beta\alpha}(-\bold B) \tag{1} $$ 将电导率张量展开为对称张量与反对称张量： $$ S_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}(\sigma_{\alpha\beta}+\sigma_{\beta\alpha})\ A_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}(\sigma_{\alpha\beta}-\sigma_{\beta\alpha}) $$ 将$(1)$中的Time reversal 代入上式，不难发现$S,A$分别是$\bold B$的偶、奇函数。假设可以将其展开为$\bold B$的幂级数，则： $$ S_{\alpha\beta}=(\sigma_0){\alpha\beta}+\zeta{\alpha\beta\gamma\delta}B_{\gamma}B_\delta\ A_{\alpha\beta} = \epsilon_{\alpha\beta\gamma}A_\gamma= \epsilon_{\alpha\beta\gamma}\xi_{\gamma\delta}B_\delta $$ 其中，上式利用了反对称张量可以利用$\epsilon_{ijk}$来表示的条件。幂次展开保留到了平方项。Ohm's law 可以重写为： $$ j_\alpha=S_{\alpha\beta}E_\beta+\epsilon_{\alpha\beta\gamma}E_\beta A_\gamma=S_{\alpha\beta}E_\beta+(\bold E\times \bold A)_\alpha $$ 通常，磁场的平方项贡献很小，可以忽略： $$ \bold j=\sigma_0\bold E+\bold E\times\bold A,\quad\bold A = \xi\bold B $$ 其中，$\bold E\times\bold A$一项提供了垂直于电场的电流分量，这便是Hall电流，这一项正比于电场与磁场。当磁场为0时，上式回归零场Ohm's law的形式。

综上可见，在Onsager's reciprocity principle存在时，$\sigma$将是对称张量。唯有引入磁场，打破这一关系后，才出现了Hall项。

Lorenz对称性及其后果

现有磁场为$\bold B=B\hat z$，自由电子气按照速度$\bold v$相对于实验坐标运动。在满足真空的Lorenz对称性的情况下，可以由Lorenz transformation 得到电子坐标下的场： $$ \bold E^{(e)} = \bold v\times\bold B, ;\bold B^{(e)}=B\hat z $$ 为了保证电子气的运动不受这一电场偏转，必须存在另一电场，与这一电场平衡： $$ \bold E=-\bold v\times\bold B=\frac{1}{ne}\bold j\times\bold B $$ 其中，$\bold j = -ne\bold v$为电流密度，$n$为（实空间的）电子密度分布。

:::note

这一电场可以是预先施加的，$\bold E,\bold B$共同组成了一个“速度选择器”，筛选出了符合的电流$\bold j$。从这一点来看，$\bold E$维持了在$\bold B$的偏转作用的阻碍下的稳恒电流$\bold j$，但其并不能形成这一电流，即，这一电流并不受$\bold E$做功。而通常情况下，我们考虑的都是存在缺陷对电流造成散射的情况，此时由于存在耗散，故维持这一电流必然意味着需要对这一电流做功。

:::

不妨从形式上化简上式： $$ \begin{align} E_\alpha &= \frac{1}{ne}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}j_\beta B_\gamma=\frac{B}{ne}\epsilon_{\alpha\beta z}j_\beta\ \end{align} $$ 其中： $$ (\epsilon_{\alpha\beta z})=\left(\begin{matrix} 0&1&0\
-1&0&0\ 0&0&0 \end{matrix}\right) $$ 故： $$ \bold E = \frac{B}{ne}\left(\begin{matrix} 0&1&0\
-1&0&0\ 0&0&0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}j_x\j_y\j_z\end{matrix}\right)=\frac{B}{ne}\left(\begin{matrix}j_y\-j_x\0\end{matrix}\right) $$ 或者写做Ohm's law的形式： $$ \bold E = \bold \rho \bold j,;\rho=\frac{B}{ne}\left(\begin{matrix} 0&1&0\
-1&0&0\ 0&0&0 \end{matrix}\right) $$

弛豫时间近似

在存在磁场的情况下，弛豫时间近似的运动方程（EOM）为： $$ \frac{\text{d}{\bold {p}}}{\text{d} t} =-e\bold E-e\frac{\bold p}{m}\times \bold B-\frac{\bold p}{\tau} $$

其中，$\tau$为弛豫时间。粒子间的互作用（散射）越强，$\tau$越小（准粒子寿命越短）。散射项（$-\bold p /\tau$）总是与动量方向相反，为电子的运动提供了阻力。当稳恒电流建立之后，电子动量不再随时间变化，即： $$ e\bold E+\frac{eB}{m}\bold p\times\hat z+\frac{1}{\tau}\bold p=0 $$ 其中，$\bold p=-m\bold j/ne$，回旋频率$\omega_c$（磁场力为向心力的角速度，或圆频率，角速度是一秒转的角度，频率是一秒转的圈数，应该是角速度除去2$\pi$）为$eB/m$。代入上式，得： $$ e\bold E-\frac{m\omega_c}{ne} \bold j\times\hat z-\frac{m}{ne\tau}\bold j=0 $$ 即： $$ \begin{align} E_\alpha&=\frac{m}{ne^2}({\omega_c}\epsilon_{\alpha\beta z}+\frac{1}{\tau}\delta_{\alpha\beta})j_\beta \end{align} $$ 写成矩阵表达式为： $$ \bold E = \rho\bold j,;\rho= \frac{m}{ne^2}\left(\begin{matrix} \tau^{-1}&\omega_c&0\ -\omega_c&\tau^{-1}&0\ 0&0&\tau^{-1}

\end{matrix}\right) $$

这里，Hall项是非对角项（$\rho_{xy},\rho_{yx}$），提供了垂直于电场、磁场的电流，且这一电流正比于电场和磁场。对角项则是常规的电阻率，提供了与电场平行的电流（$\rho_{xx},\rho_{yy},\rho_{zzz}$）。当散射变弱，弛豫时间足够长时，上式便回归了Lorenz对称的情况。

:::tip

实际上，稳恒电流的条件为$(\partial\bold p/\partial t)_r=0$。由于这里动量对于位置矢量$\bold r$仍然是各向同性的，因而可以认为稳恒电流建立时$\text{d}{\bold p}/\text{d}{t}=0$。另外，这里求得的电场是指稳恒电流建立后，作用在电流的单电子上的电场。而不是最初的外加电场。这其实并不奇怪，在直流电路中，所谓的电压也是稳恒电流形成之后，末态的电场形成的电压。

:::

载流子迁移率

More about shirley

Tue, 26 Nov 2024 00:00:00 GMT

XAS是一种常见的用于表征物质电子结构的方法，其常见的一种测量方法是，利用X射线照射样品，产生光电子，样品荷电，产生电流转导至地。产生光电子越多，样品荷电越多，产生电流越大。而在实际测量的XAS中，常见低能端峰位更高的现象，这便是本底信号所致。本底产生于深度激发的电子在样品中的能量损耗。为了扣除本底，出现了种种数学模型，如此处的Shirley。

Shirley本底扣除方法中，其基本假设是：高能端的电子将部分地被非弹散射，形成低能端电子的本底噪声。定量地说便是，对于初态能量为E的光电子，在到达探测器之前：

受到非弹散射而跃迁至任意能量为$\epsilon<E$的末态的概率（密度）是不依赖于始末态的常数：

$$ \forall\epsilon<E,p(E\rightarrow\epsilon)=p_0 $$

损失能量的电子数$\text{d}{n'}$正比于总的电子数（$\text{d}{n}+\text{d}{n'}$），其比例系数是一个不依赖于始末态的常数：

$$ \text{d}{n'}(E)=\alpha(\text{d}{n}(E)+\text{d}{n'}(E)) $$

记测量的光谱曲线为$J(E)$，本底为$S(E)$，原谱减去本底得到的校正谱为$J(E)-S(E)$。校正谱为弹性散射的电子信号，处于$[E,E+\text{d}{E}]$区间内的电子数$\text{d}{n}$正比于该区间的信号强度（假设比例系数在很窄的能量区间内不依赖于能量，实际上，光电子强度与入射光强度、跃迁概率等均有关）： $$ \text{d}{n}(E)=\beta[J(E)-S(E)]\text{d}{E} $$ 代入基本假设2，可以解出$\text{d}{n'}$： $$ \text{d}{n'}=\frac{\alpha\beta}{1-\alpha}[J(E)-S(E)]\text{d}{E} $$ 这些电子将按照$p_0\text{d}{\epsilon}$为概率，为$[\epsilon,\epsilon+\text{d}{\epsilon}]$区间内提供本底信号强度： $$ S(\epsilon,E)\text{d}{\epsilon}=\frac{\alpha\beta p_0\text{d}{\epsilon}}{1-\alpha}[J(E)-S(E)]\text{d}{E} $$ 其中，$S(\epsilon,E)\text{d}{\epsilon}$表示初态为能量$E$的电子在能量$\epsilon$处形成的那一部分本底信号强度。因而，总的本底信号是对所有$E>\epsilon$的求和： $$ S(\epsilon)=\sum_{E=\epsilon}^{+\infty}S(\epsilon,E) =S\left( \varepsilon \right) =k\int_{\varepsilon}^{+\infty}{\left[ J\left( E \right) -S\left( E \right) \right] \text{d}E} $$ 其中，$k=\frac{\alpha\beta p_0}{1-\alpha}$。注意到若能量为$\epsilon$处并没有峰，则该处的信号均为本底，$J(E)-S(E)=0$，因而：

若$\epsilon$处有峰。假设$E_b$为峰的高能边（边界），则：

$$ S\left( \varepsilon \right) =k\left{ \int_{\varepsilon}^{E_b}{\left[ J\left( E \right) -S\left( E \right) \right] \text{d}E}+\sum_{E_j>\varepsilon}{\int_{E_j}^{E_j+\Delta E_j}{\left[ J\left( E \right) -S\left( E \right) \right] \text{d}E}} \right} $$

其中，$E_j$为其他峰的低能边。上式不难化简为： $$ S(\epsilon) =kQ(\epsilon)+b' $$ 式中，$Q(\epsilon)=\int_\epsilon^{E_b}[J-S]\text{d}{E}$为校正谱处于$\epsilon$与$E_b$之间的面积，而$b'$则取决于该峰与其他峰的相对位置。在该峰区域内，$b'$是不依赖于$\epsilon$的常数。

若$\epsilon$处无峰。则：

$$ S\left( \varepsilon \right) =k\sum_{E_j>\varepsilon}{\int_{E_j}^{E_j+\Delta E_j}{\left[ J\left( E \right) -S\left( E \right) \right] \text{d}E}} $$

这是一个不依赖于$\epsilon$的常数（只要$\epsilon$在变化时不跨越任何有峰的区域）。这表明，按照Shirley的假设，两个峰位之间应该均是水平的区域，这些水平的区域会随着能量的降低，像台阶一样逐步升高（每跨越一个峰，均是上一个台阶）。

至此，我们描绘了Shirley假设下，光电子谱应该有的峰形。在使用Shirley时，我们或许需要尽量保证原谱符合其描述的情况：即峰位左右侧为水平、且高能边低于低能边。否则，贸然采用Shirley或许并不合理。

下面是求解Shirley的算法部分。首先假设某峰的高能边（$E_b$）和低能边（$E_a$）的高度$J(E_a)=S(E_a)=a,J(E_b)=S(E_b) = b$。结合$S(\epsilon)=kQ(\epsilon)+b'$，可得： $$ b'=b, k=\frac{a-b}{I},I=\int_{E_a}^{E_b}[J(\epsilon)-S(\epsilon)]\text{d}{\epsilon} $$ 其中$I$便是校正谱中，该峰的总面积。不妨定义泛函： $$ \psi[S(\epsilon),E]=\int_{E}^{E_b}[J(\epsilon)-S(\epsilon)]\text{d}{\epsilon} $$ 则有： $$ S(\epsilon)=b+(a-b)\frac{\psi[S(\epsilon),E]}{\psi[S(\epsilon),E_a]} $$ 上式的右侧可以视为$S(\epsilon)$的泛函，它将$S(\epsilon)$映射为另一函数。而这一映射的结果得到了$S(\epsilon)$自身，这表明，上式的解便是这一泛函的不动点。在某些情况下，我们可以通过不断迭代函数来得到函数的不动点，如： $$ a_1=f(x),a_2=f(f(x)),\cdots,f(a_{\infty})=a_\infty $$ 算法求解Shirley时，便是采用这一迭代法。

Methods about kz Mapping on ARPES

Mon, 25 Nov 2024 00:00:00 GMT

单电子末态近似与$k_z$-Mapping

在自由电子末态近似中，电子的动量分量为： $$ k_z = 0.512\sqrt{E_{kin}\cos^2\theta_x+V_0}\ k_{x}=0.512\sqrt{E_{kin}}\sin\theta_{x}\ k_y=0.512\sqrt{E_{kin}}\cos\theta_{x}\sin\theta_y $$ 其中，$x$方向沿着分析器的Slit方向（Slit平行于样品），$y$方向垂直于Slit并平行于样品表面，而$z$方向则垂直样品表面。$E_{kin}$指费米能级处逸出光电子的动能（$\hbar\omega-\phi$）。注意，$E_b$指的是电子的结合能，而 $E_{kin}$指的是该光子能量下从Fermi level处逸出的光电子动能。若用$E$表示该光电子能量下某一光电子的动能，则该光电子逸出前的结合能便是：$E_b=E-E_{kin}$。

实验中，测试$k_z$-mapping时，通常会按1~2 eV为间距，等间距地改变光子能量。每个光子能量下，均保证在$\theta_y=0$的情况下，沿着$\theta_x$（Slit）方向测CUT。对这些CUT汇总，进行几何变换，便得到了$k_z$-mapping。封面便是一个简单的例子。

确定Mapping的Contour图像区域

由于$k_x-k_y$面内的等能面构成的实际为一段圆弧，即： $$ k_x^2+k_z^{2}=(0.512)^2E_{kin}+V_0 $$ 其中，$\theta_x$的几何意义如下图所示。等能面为圆弧DBC，其半径为$\sqrt{(0.512)^2E_{kin}+V_0}$，FJE是半径为$0.512\sqrt{E_{kin}}$的圆弧。两端的圆弧中心皆为动量零点。过能量为$E_{kin}$的等能面上某点向$x$轴做垂线，交FJE圆弧于J点，则∠AJH便是该能量$E_{kin}$下，点I的$k_x$对应的$\theta_x$。这一角度略大于∠IAB。$V_0$越大，这一差距越大。

当我们沿着$\theta_y=0$的直线方向，等间隔地变光子能量来扫描$\theta_x-E$的Cut时，在$k_x-k_z$中走过的路径如下所示。由于需要一个矩阵来保存这样的扇形数据，故要首先确定需要保存的矩形区域。区域的边界可以通过最低、最高能量的圆弧来确定。图中红色边框上的几个箭头强调了这些关键位置。

在程序中，首先会确定光子能量序列、文件名序列，还需要事先假定一个$V_0$（后续需要通过调整$V_0$，把图像调整到一个合适的周期，这个周期应该符合XRD测试的z轴周期）。然后计算能量最高、最低的两组数据确定的矩形边界。矩阵的尺寸可以自己定义，尽量保证尺寸在各个维度上大于原先的尺寸。

或者也可以用这样一种方法确定：由于低能段的信息密度较高，因而按照低能端的数据尺寸来确定矩阵的尺寸。比如该组数据在$k_x\in[-a/2,a/2]$的区间中有$n$个点，而矩形区域的$k_x$边界为$[-b/2,b/2]$，则最终的矩阵应该有round(n/a*b)列。矩阵的行则通过高能端确定，应该保证在圆弧两侧，每一行只包含一个或两个数据。

数据的变换

首先将原先的一系列CUT拼成3D矩阵（MAP），以备线性插值。再新建一个全零3D矩阵（NMAP），用于保存变换后的结果。NMAP的行、列、层坐标分别为$(E_b,k_x,k_z)$，而原矩阵的坐标为$(E_b,\theta,E_{kin})$。从某个能量位置出发，对两个矩阵分别进行二维切片，得到NSlice和Slice。NSlice中的某矩阵元对应的k空间的点$(k_x,k_z)$通过上述公式可以逆映射至$(\theta,E_{kin})$，通过对Slice的线性插值可以得到这一点上的值，将这一值赋给NSlice。将所有这样得到的NSlice重建为3D矩阵，便得到了一个$k_z$-mapping.

#文中采用的CUT数据为Seinta公司的DA30L仪器在SES操作界面下，通过Fixed模式得到的txt格式文件。

Markdown Extended Features

Wed, 01 May 2024 00:00:00 GMT

GitHub Repository Cards

You can add dynamic cards that link to GitHub repositories, on page load, the repository information is pulled from the GitHub API.

::github{repo="Fabrizz/MMM-OnSpotify"}

Create a GitHub repository card with the code ::github{repo="<owner>/<repo>"}.

::github{repo="saicaca/fuwari"}

Admonitions

Following types of admonitions are supported: note tip important warning caution

:::note Highlights information that users should take into account, even when skimming. :::

:::tip Optional information to help a user be more successful. :::

:::important Crucial information necessary for users to succeed. :::

:::warning Critical content demanding immediate user attention due to potential risks. :::

:::caution Negative potential consequences of an action. :::

Basic Syntax

:::note
Highlights information that users should take into account, even when skimming.
:::

:::tip
Optional information to help a user be more successful.
:::

Custom Titles

The title of the admonition can be customized.

:::note[MY CUSTOM TITLE] This is a note with a custom title. :::

:::note[MY CUSTOM TITLE]
This is a note with a custom title.
:::

GitHub Syntax

[!TIP] The GitHub syntax is also supported.

> [!NOTE]
> The GitHub syntax is also supported.

> [!TIP]
> The GitHub syntax is also supported.

Simple Guides for Fuwari

Mon, 01 Apr 2024 00:00:00 GMT

Cover image source: Source

This blog template is built with Astro. For the things that are not mentioned in this guide, you may find the answers in the Astro Docs.

Front-matter of Posts

---
title: My First Blog Post
published: 2023-09-09
description: This is the first post of my new Astro blog.
image: ./cover.jpg
tags: [Foo, Bar]
category: Front-end
draft: false
---

Attribute	Description
`title`	The title of the post.
`published`	The date the post was published.
`description`	A short description of the post. Displayed on index page.
`image`	The cover image path of the post.<br/>1. Start with `http://` or `https://`: Use web image<br/>2. Start with `/`: For image in `public` dir<br/>3. With none of the prefixes: Relative to the markdown file
`tags`	The tags of the post.
`category`	The category of the post.
`draft`	If this post is still a draft, which won't be displayed.

Where to Place the Post Files

Your post files should be placed in src/content/posts/ directory. You can also create sub-directories to better organize your posts and assets.

src/content/posts/
├── post-1.md
└── post-2/
    ├── cover.png
    └── index.md

Markdown Example

Sun, 01 Oct 2023 00:00:00 GMT

An h1 header

Paragraphs are separated by a blank line.

2nd paragraph. Italic, bold, and monospace. Itemized lists look like:

this one
that one
the other one

Note that --- not considering the asterisk --- the actual text content starts at 4-columns in.

Block quotes are written like so.

They can span multiple paragraphs, if you like.

Use 3 dashes for an em-dash. Use 2 dashes for ranges (ex., "it's all in chapters 12--14"). Three dots ... will be converted to an ellipsis. Unicode is supported. ☺

An h2 header

Here's a numbered list:

first item
second item
third item

Note again how the actual text starts at 4 columns in (4 characters from the left side). Here's a code sample:

# Let me re-iterate ...
for i in 1 .. 10 { do-something(i) }

As you probably guessed, indented 4 spaces. By the way, instead of indenting the block, you can use delimited blocks, if you like:

define foobar() {
    print "Welcome to flavor country!";
}

(which makes copying & pasting easier). You can optionally mark the delimited block for Pandoc to syntax highlight it:

import time
# Quick, count to ten!
for i in range(10):
    # (but not *too* quick)
    time.sleep(0.5)
    print i

An h3 header

Now a nested list:

First, get these ingredients:
- carrots
- celery
- lentils
Boil some water.

Dump everything in the pot and follow this algorithm:

 find wooden spoon
 uncover pot
 stir
 cover pot
 balance wooden spoon precariously on pot handle
 wait 10 minutes
 goto first step (or shut off burner when done)

Do not bump wooden spoon or it will fall.

Notice again how text always lines up on 4-space indents (including that last line which continues item 3 above).

Here's a link to a website, to a local doc, and to a section heading in the current doc. Here's a footnote [^1].

[^1]: Footnote text goes here.

Tables can look like this:

size material color

9 leather brown 10 hemp canvas natural 11 glass transparent

Table: Shoes, their sizes, and what they're made of

(The above is the caption for the table.) Pandoc also supports multi-line tables:

keyword text

red Sunsets, apples, and other red or reddish things.

green Leaves, grass, frogs and other things it's not easy being.

A horizontal rule follows.

Here's a definition list:

apples : Good for making applesauce. oranges : Citrus! tomatoes : There's no "e" in tomatoe.

Again, text is indented 4 spaces. (Put a blank line between each term/definition pair to spread things out more.)

Here's a "line block":

| Line one | Line too | Line tree

and images can be specified like so:

Inline math equations go in like so: $\omega = d\phi / dt$. Display math should get its own line and be put in in double-dollarsigns:

$$I = \int \rho R^{2} dV$$

And note that you can backslash-escape any punctuation characters which you wish to be displayed literally, ex.: `foo`, *bar*, etc.

Include Video in the Posts

Tue, 01 Aug 2023 00:00:00 GMT

Just copy the embed code from YouTube or other platforms, and paste it in the markdown file.

---
title: Include Video in the Post
published: 2023-10-19
// ...
---

<iframe width="100%" height="468" src="https://www.youtube.com/embed/5gIf0_xpFPI?si=N1WTorLKL0uwLsU_" title="YouTube video player" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

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